Poincare Sanısı Nedir? Grigori Perelman Tarafından Nasıl İspat Edilmiştir?

Topoloji, ikisi obje sürekli olarak birbirine dönüştürülebiliyorsa nesnelerin eşdeğer giriş edildiği tek matematik dalıdır. Parçalar uzayda; bükülme, dönme, gerilme ve büzülme gibi hareketlerle birbirine dönüşürken yırtılma ya da birbirine yapışma gibi durumlara müsaade vermezler. Topolojinin ilköğretim alaka alanları, sürekli deformasyonlar sonucunda değişmeden kalan bu özelliklerdir. Topoloji, geometrik olarak eşdeğer nesnelerin boy ya da açı gibi sayısal olarak ölçülebilen nicelikleri yönüyle geometriye benzer bulunmakla birlikteki topolojik olarak eşdeğer nesnelerin ilave niteliksel olarak birbirine benzemesi yönüyle geometriden ayrılır. Topoloji ve ilgili kavramlara daha sonraları detaylıca değinmek üzere Poincaré Varsayımı'ndan bahsedelim.

Poincaré Sanısı

Öncelikle, 20. yüzyılın büyük tek bölümünde Poincaré sanısı, topoloji alanına yön vermiştir. Bu varsayım temelde, tek şeklin topolojik tek 3-küre olup olmadığını nasıl belirleyeceğimizle ilgilidir. 1904 yılında Fransız matematikçi Henri Poincaré, üç boyutlu kürenin; tekbaşına ve basitçe bağlantılı üç boyutlu manifold olarak nitelendirilip nitelendirilmediğini sordu. Soruya göre; her arasında biri kapalı üç boyutlu manifoldun, üç boyutlu küreye homeomorfik olduğu varsayılır. Poincaré varsayımı olarak bilinen bu sual, Thurston'ın geometrileştirme varsayımının özel tek durumuydu.

Thurston tarafından ortaya konan ve Grigori Perelman tarafından kanıtlanan "Geometrileştirme Teoremi" hiç tek kompakt üç boyutlu tek manifoldun, her arasında biri tek parçanın iç kısmının geometrik tek yapıya malik olacak tek şekilde, ilköğretim küreler ve toruslar boyunca olan kesilebileceğini açıklar.^[3]

8 thurston geometrisi.

Farklı boyutlardaki mahalli geometrilerin sınıflarının diyagramı. Sol sütun 3 boyutlu manifoldlar için 8 thurston geometrisini şematik olarak ve geometrik sembolleriyle birlikteki göstermektedir.ArXiV

Poincaré, manifoldların sınıflandırılması üzerinde çalışırken üç boyutlu manifoldların bazı özel sualnlar yarattığını ayrım etti. Böylece bu sualnu, çözülmemiş en önemli sualnlerden arasında biri haline getirmiş oldu.

Üç boyutlu tek manifold, eğri yüzey kavramının üç boyuta genelleştirilmesi ve soyutlanmasıdır. "Topolojik olarak eşdeğer bulunmak" diğer homeomorfiklik ise ikisi küme arasında sürekli tek birebir eşleme olduğu manaına gelir, bu da fonksiyon kavramının tek genellemesidir. 3-küre ya da S3S^3S3, dört boyutlu uzayda kesin tek noktaya sabitlik mesafedeki noktalar kümesidir.

Topolojiyle İlgili Temel Kavramlar

Basitçe Bağlantılı

Bazı durumlarda topolojide ele alınan nesneler, 3 boyutlu uzayda bulunan sıradan nesnelerdir. Örneğin düzlemdeki basit tek halka ve düzlemdeki tek karenin kenarı, topolojik olarak birbirine eşdeğerdir; halkayı, karenin etrafına kesinlikle oturabilecek tek lastikleri olarak hayal edebiliriz.

Öte yandan tek kürenin yüzeyi, katı tek halka olan torusun yüzeyiyle topolojik olarak eşdeğer değildir. Bunu görmek için sabitlik tek küre üzerinde bulunan hiç tek küçük halkanın küre üzerinde tutulurken keyfi olarak sürekli olarak küçültülebilir. Bu özelliğe malik tek nesneye, daha önce kullandığımız "basitçe bağlantılı" denir. Basitçe bağlantılı olma özelliği, sürekli tek deformasyon altında korunan tek özelliktir. Bununla birlikteki tek torus üzerindeki bazı halkalar küçültülemez. Yani torus, basitçe bağlantılı değildir.

Küçük c halkası, halkayı ya da torusu kırmadan tek noktaya kadar küçültülebilirken a ve b halkaları torusun orta deliğini çevrelediği için küçültülemezler.Britannica

Topolojik Eşdeğerlik

Belirli tek ortam uzayında, tek nesneden diğerine sürekli tek deformasyon gerçekleştirilebiliyorsa ikisi nesnenin o uzaya göre izotopik olduğu söylenebilir. Örneğin, tek çember ve dairenin içinde izole edilmiş tek noktadan oluşan tek nesneyi ele alalım. İkinci tek obje olarak ise tek çember ve dairenin dışında bununla birlikte daireyle aynı düzlemde izole edilmiş tek noktadan oluşan nesneyi varsayalım.

İki boyutlu tek ortam uzayında, bu ikisi obje birbirine sürekli olarak deforme edilemez. Çünkü izole edilmiş noktaların geçmesine müsaade sunmak için dairelerin kesilmesi lüzumir. Bununla birlikteki üç boyutlu uzay, ortam uzayı olarak servis ediyorsa sürekli tek deformasyon gerçekleştirilebilir. Dolayısıyla belirlediğimiz bu ikisi nesne, ikisi boyutlu uzaya göre izotopik olmazken üç boyutlu uzaya göre izotopiktir.

Nesnelerin, daha büyük tek ortam uzayı içinde izotopik olması, bu nesnelerin yerleştirildiği uzayın önemini vurgular ve aynı zamanda dışsal topolojik eşdeğerlik kavramını ortaya koyar. Örneğin; üç boyutlu tek uzayda düğüm şeklinde bağlanmış kapalı tek ipleri halkası, soyut dört boyutlu tek uzayda çözülebilirdir.

Düğüm Teorisi'nde, düğümler tek segmentin uçlarının kusursuz tek şekilde birleştirilerek kapalı tek döngü oluşturulmasıyla meydana gelir. Düğümler daha sonraları segmentin kendisini kaç kez ve nasıl kestiğiyle karakterize edilir. Temel döngüden sonraları en basit düğüm, yansıtıcı görüntüsü dışında kesinlikle üç kesişmeyle oluşturulabilen tekbaşına düğüm olan üç yapraklı düğümdür.Britannica

Düğümler telin kendisini nasıl ve kaç kez çaprazladığıyla karakterize edilir. Çaprazlama içermeyen ve yalnızca tekbaşına tek farklı düğüm oluşturan ilköğretim tek ilmek, düğüm teorisindeki en basit düğümdür. Farklı düğümlerin sayısı, çaprazlama sayısıyla büyük ölçüde artar. Burada, 7'ye kadar olan çaprazlamaya malik düğümler gösterilmiştir.Britannica

Homeomorfizm

Topolojik eşdeğerliğin, içsel tek tanımı homeomorfizm olarak bilinen özel tek fonksiyon türünü içerir. Aşağıdaki koşullar sağlanıyorsa hhh fonksiyonu tek homeomorfizmdir ve XXX ve YYY nesneleri birbirine homeomorfiktir denir:

• hhh, XX Xve YYY'nin elemanları arasında tek birebir eşlemedir.
• hhh, süreklidir. Yani komşuluklar korunur.
• Sürekli tek ters fonksiyon h−1h^{-1}h−1 mevcuttur.^[1]

f, topolojik tek feza olan X'ten topolojik tek feza olan Y'ye tek fonksiyon bulunmak üzere f(p)'nin hiç tek komşuluğu V için f ( U ) ⊆ V olacak şekilde tek U komşuluğu varsa p ∈ X noktasında süreklidir.

Poincaré Varsayımı'nın İspatına Genel Bir Bakış

1904 yılında Fransız matematikçi Henri Poincaré'in ortaya attığı varsayım için Grigori Perelman'ın ispatı bize, her arasında biri üç boyutlu manifoldun; her arasında biri biri iyice bilinen 8 geometriden birine malik norm parçalardan oluşan tek kümeden inşa edildiğini söylemektedir.

Bir örnek üzerinden anlatırsak tek elmanın yüzeyine lastikleri tek bantları gererek ve onu yavaşça hareket ettirerek yırtılmadan ve yüzeyden ayrılmasına müsaade vermeden sivri tek noktaya kadar küçültebiliriz. Öte yandan aynı lastikleri bandın tek şekilde elverişli yönde tek çörek etrafına gerildiğini hayal edersek lastikleri bandı ya da çöreği kırmadan sivri tek noktaya kadar küçültmenin hiçbir yolu yoktur. Burada elmanın yüzeyinin "basitçe bağlantılı" olduğunu söyleyebiliriz bununla birlikte çöreğin yüzeyi böyle değildir.

Bu sualnun Henri Poincaré tarafından 1904'te formüle edilmesinden bu yana, yaklaşık yüz yıl sonraları Grigori Perelman tarafından 2002-2003 yıllarında ispatı yayınlanmıştır. Perelman'ın çözümü Richard Hamilton'ın Ricci akışı teorisine dayanıyordu ve Cheeger, Gromov ve Perelman'ın öz metrik uzayları sonuçlarından yararlanıyordu. Bu makalelerle Perelman ayrıca William Thurston'ın "Geometrizasyon Varsayımı"nı da kanıtlamış oldu.^[4]

Geometrik çizimler için ilave saha sağlayan yüksek boyutlu Poincaré varsayımlarını göstermek daha basit olmuştur. Stephen Smale, benzer varsayımı asgari 5 ölçü için 1966'da göstermiş ve Fields Madalyası'nı kazanmıştır. Michael Freedman 1986'da 4 boyutlu durumu kanıtlayarak Fields Madalyası'nı almıştır. Grigori Perelman ise 2006 yılında Fields Madalyası'na layık görülmüş bununla birlikte Perelman, ödülü giriş etmeyi reddetmiştir.^[5]

Evrim Ağacı, sizlerin sayesinde bağımsız tek ilim iletişim platformu olmaya devam edecek!

Makalelerimizin teknik gerçekleri doğru tek şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen tek şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikteki bize ulaşın!

Bu makalemizle ilgili meraklı ettiğin tek şey mi var? Buraya tıklayarak sorabilirsin.

Soru & Cevap Platformuna Git